Poezija matematike – I deo: Red i zvuk

U jeku jednog semestra na Univerzitetu u Getingenu, vrsni nemački matematičar, David Hilbert, zapazio je da na njegovim predavanjima nedostaje jedan od studenata. Raspitavši se za njega, odgovoreno mu je da je katedru za matematiku napustio u korist one za poeziju. Vrlo smireno, Hilbert je replicirao: “Ah, da. Oduvek sam smatrao da nije dovoljno maštovit za matematiku.”

Slično astronomima, i matematičari su skloni verovanju da baš u njihovoj oblasti ekspertize pulsira bilo svekolikog sklada i estetskog zadovoljstva. Njeni principi su, priznaju to i oni, unekoliko drugog soja u odnosu na raskoš i berićet, na primer, klasičarskog slikarskog dela. Rečima Bertranda Rasela, “u njoj je lepota hladna i stroga, poput kakvog kipa, filigranski čista i kadra za ozbiljnu perfekciju (…) duh egzaltacije i osećaja da se biva nečim više od čoveka.” Rasel i Hilbertov bivši polaznik nisu jedini u kraljici svih naučnih disciplina pronalazili poetsku harmoniju. “Euclid alone has looked on Beauty bare” je uvodni stih poeme Edne St. Vinsent Milej. Bez imalo intelektualne mistifikacije, matematički sled događaja u svim pojmovnim aparatima, simbolima i oruđima ljudskog izraza je tu: odnosi, koeficijenti, razmere i proporcije nikada se nisu odrodili od ideja reda, poetskog stvaralaštva i muzike, koje su, kao što ćemo videti, praktično neodvojivi.

Bilo da je u pitanju vera u brojčanu realnost i pronalazak već postojećih prirodnih istina, a ne njihova invencija, sortiranje, familijarnost i upoznatost sa stvarima oko nas čine da se osećamo sigurno, bezbedno i uz manje napora nosimo sa svetom. Red nas upućuje na budućnost koja, sa upoznavanjem uređenosti, postaje nešto bezbednija luka za nas, stvorenja po prirodi stvari upravljena na futur. Ipak, jasno je da u korisnosti nije lepota. U prvom redu objašnjenja tu je, uglavnom napuštena, Frojdova teorija “uštede mentalne energije”. Po njoj, psiha je u trajnom nastojanju da umanji svoje napore što, kada se ostvari, ušteđuje energiju koja se oslobađa u vidu zadovoljstva i senzacije lepog – a uređenost zaista pruža tu prečicu do nepotrebnosti suvišnog psihičkog rada.

Đankarlo Rota napominje da su matematičari zabrinuti za istinu i da je za njih matematička lepota sinonim za prosvetljujuću snagu otkrivene teoreme. Jednostavnost je, ako ne i način postupka, gotovo uvek njegov cilj. Manjak lepote je manjak definitivnosti. Od reda operacija, preko Euklidovih algoritama (načina nalaženja najvećih zajedničkih činilaca dva broja) do Gausovog postupka (zbira članova aritmetičkih sekvenci) – estetski domen matematike u velikoj je sprezi sa konačnoću i otkrovenjem jednostavnosti, pre svega, teorema, pa tek onda dokaza.

“Muzika nije ništa drugo nego podsvesna aritmetika”. – Leibnitz

Na uho slučaoca, muzičko delo ima dejstvo sa dva nivoa: na prvom, ona je dezorganizovana buka koju naš um organizuje u smislene stimuluse, elevirajući ih na drugi nivo, u kojem se otkriva red i smisao: identičnog soja poput onog matematičkog, šablonskog. I ovom slučaju lepota se ukazuje između svesno doživljenog nereda i podsvesno shvaćenog reda. (Da li to znači da su poklonici kompleksne muzike, pošto nalaze red i sklad u njoj, “napredniji” umovi…ili makar uši?)

Još jedno dvojstvo koje muziku čini onim što jeste, jesu ritam i harmonija (melodija). Ritam je taj koji svojom vremenskom strogošću omogućava da predvidimo i anticipiramo ton koji će uslediti, dajući nam tako čvrsto uporište reda i pouzdanosti. Daleko problematičnija je harmonija, veza između frekvencija nota.

Pod pojmom intervala se podrazumeva odnos između dve note, bez obzira gde se na oktavama nalaze (oktava je još jedan matematički vid prikaza zvučnog raspona, od jedne do druge note “do”, na primer). Svki interval korespondira određenom odnosu dužina žica, dok se frekvencijom zvuka na moderan naučni način ocenjuje njegova visina: reč je o broju zvučnih talasa (ili vibracija) određene note po mernoj jedinici vremena. Sve saobraznosti između svih elemenata zvuka doveli su do jednostavnog, a presudnog otkrića pre mnogo vekova, u staroj Grčkoj.

Kao najefemernija sekta onog, ovog i svakog vremena, matematički Pitagorejski kult sa južnih Apenina, pažen je na zakletvama o velikoj tajnosti svojih otkrića. Takvo je i jedno koje se kao popularna legenda prepričava u formi jedne kuriozne Pitagorine posete kovaču kroz čije je lupanje nakovnja po žezlu ustanovio fundamentalnu matricu i zakon muzičke harmonije: jednostavne odnose. Reč je o sledećem: “prijatnost” zvuka je u jednostavnosti razmera između njihovih frekvencija, iskazanih niskim brojevima – odnos 2:1, 3:2 ili 4:3, npr., stoje kao primer sklada naspram usprotivljenih odnosa poput 15:4. Eksperimentima zvonima različitih promera ili žicama raznovrsnih dužina, pri čemu žica tačno dvostruke dužine od svog parnjaka (koji se eksperimentalno okidaju istovremeno) proizvodi skladan ton jer je reč o razlici od jedne oktave (primera radi, frekvencija pete note, “sol” (G), je 3:2  spram note “do” (C) iste oktave – za svake dve vibracije “do” biće tri vibracije “sol”.

Mali intermeco, da vas razonodimo: upoznajte Šepardov ton  i Fibonačijev niz u konstrukciji klavirskih dirki. Prvi je zagonetna iluzija tona u opadanju (ili uzdizanju) – koji, u stvari, nikada ne opadne (odnosno uzdigne se), a drugi harmonična primena čuvenog reda brojeva u kojem zbir prethodna dva kao rezultat daju vrednost sledećeg (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…). Poliritmovi, stohastička muzika, kontrapunktovi i dr. su još neke matematički zasnovane forme.

Pitagorejci su, dakle, ustanovili istinu, ali ne i razloge našeg plezira kada slušni aparat izlažemo ovako matematički ustrojenim tonovima. Na odgovor na to pitanje se čekalo izdašnih 2500 godina, do pojave eklektične figure Hermana fon Helmholca. Kada nije bio zauzet formulacijama konzervacije energije, dinamikama fluida i filozofskim invencijama, okretao se krasotama muza i auditivnoj umetnosti. Izumevši sofisticirane rezonatore, sferične i cilindrične, stekao je sposobnost uvida u komponente vibracija tona i, konačno, da izdvoji primarne tonove i prateći fenomen “visokih tonova”, tj. činjenice da kada žica vibrira određenom frekvencijom, istovremeno poseduje i sekundarne frekvencije, nekoliko puta više, koje su znatno slabije ali, svejedno, čujne. Konkretno, uzmimo notu “mi” (E) – tokom njenog zvučanja, prisutna je i njena “fantazma”, “mi” više za oktavu i sa duplo većom frekvencijom, kao i odgovarajuće note više za dve, tri, četiri…oktave. Rečju, zvuci nisu puka unisona tvorevina već privid jednozvučja koje tvore različiti, ali srodni, tonaliteti.

Za još uviđaja u magiju matematičkog reda, pročitajte “The magical mathematics of music” na Plus Magazine.  U narednom delu, bavićemo se lepotom samog matematičkog čina i iskustva.

Kao ispomoć autoru za obradu teme poslužile su knjige ““Mathematics, poetry and beauty” i “The phenomenology of mathematical beauty”.

obradio: Andrej Vidović