Poezija matematike – II deo: Geometrija i prostor

Prostor. Tamo gde se dešava sve “pod kapom nebeskom”, pa i ono što je skoro nemoguće spoznati; vinovnik koncepcije matematičkih teorema i skrivenih lepota jer, konačno, geometrija, kao ogranak te nauke, tiče se upravo odnosa objekata u njemu. Matilda Marcolli sa Berklija upire na impresivan diverzitet vrsta, hijerarhija i relacija prostora: na linearni (sa skupom i kompozicijom vektora), topološki (sa oblicima koji se menjaju morfološki ali ostaju isti), projekcijski, nekomutativni prostor…te na strukturu, simetrije i filozofske raspre, apsolutističke i relacionističke (prve su zastupali Parmenid, Zenon, Kant, Njutn, a druge Heraklit, Demokrit, Lajbnic, Bergson). “Uvek je dekorisan brojevima, racionalnim, realnim, kompleksnim, decimalnim.”

Mikro i međuplan: hipersfere i drugi oblici


Kao što i 3D objekat može biti projektovan na 2D ravan, tako je i 4D objekat moguće prikazati u 3D prostoru. Ova slika dolazi od projekcije četvorodimenzionalne hipersfere. Crvene krivine su projekcije paraleli hipersfere, plave meridijana a zelene tzv. hipermeridijana. (Slika: Claudio Rocchini, Wikimedia)

Ako tražite razumevanje dimenzija viših od naše četiri, preporučuje se gledanje u sfere – u njima, naime, leže neki odgovori na pitanja poput “kako bi izgledao svemir sa pet dimenzija.” 
Matematika je stamena u odgovoru na pitanje o postojanju ovih dimenzija. Kako piše Richard Elwes (autor u New Scientist-u i Daily Telegraph-u), isto kako dvodimenzionalna ravan može biti opisana parom koordinata sa referencom na par osa, tako i trodimenzionalni prostor podleže opisu tripleta brojeva – 4D prostor je identifikovan setom četvorki realnih brojeva (5,6,3,2), što je postupak koji se prenosi i na više dimenzije. Elwes, sa lucidnom samouverenošću, primećuje da dokle god verujete u brojeve nemate izbora osim da verujete i u 4D prostor. Ali, kako taj prostor zamisliti?

Upravo ovde fokus prelazi na sfere. Odabiranje tačke na tlu i obeležavanje tačaka koje su 1 cm udaljene od nje dalo bi krug radijusa 1 cm; u 3D prostoru, isti postupak za produkt ima običnu sferu, globus. Uzbuđenje predstoji: baš ovaj trik “pali” i u četiri dimenzija i tvori hipersferu. U krupnom planu, ili gledane izbliza, sekcije kruga izgledaju kao jednodimenzionalne linije, a razlika između kruga i linije, kada se posmatraju izdaleka, je da se cela stvar povija unazad da se spoji sa sobom i ima konačnu dužinu. Bilo koji deo svakodnevne 2D sfere izgleda kao deo 2D ravni koje, kada se “prišiju” zajedno, ne ostavljaju ivice i imaju konačnu površinu. Sada se komplikuje – “svaka regija hipersfere izgleda kao i poznati 3D prostor, ali kao i njeni srodnici u manje dimenzija, i ona se zakrivljuje oko sebe na način na koji ravan 3D prostor ne čini, što za rezultat daje oblik bez bočnih strana i sa konačnom zapreminom”, kazuje Elwes, u vrlo pribranom i dokazano trezvenom stanju. Rezime o unikatnosti 4D sfere bio da je ona “iznenađujuće i slična i drugačija od “obične” sfere, ujedno”.

Hipersfere svoje alter-egoe i formalne pandane imaju u hiperkockama. Teserakt, geometrijsko telo čija se hiperpovršina sastoji od 8 kockastih ćelija, četvorodimenzionalni je analog regularnoj, 3D kocki, tj. može se “odmotati” u 8 kocki u trodimenzionalnom prostoru. Bazični teserakt je samo jedan od konveksnih polikorona (4D politopa) i najjednostavniji pride (Kokseterov grafikon površi ili Šlegelov dijagram omni-isečenog teserakta izaziva autentičan osećaj nesvestice – kod izdržljivijih).

Šta biste, vi lično, nazvali istim objektima? Topologija pruža pomalo iznenadan, ali smislen odgovor, koji se po pravilu razlikuje od naših zamisli. Po njoj, oblici su isti ako – jednostavno – mogu da se izobliče i deformišu jedan u drugi (na slici sleva, animacija prikazuje kako je torus, “krofnast” oblik, suštinski isto što i šolja). Oblici ovog tipa poznaju dva stanja, otvoreno (stabilno, pod manjim varijacijama) i zatvoreno (na granici dva oblika). “Klajnova boca” i Mebijusova traka” su dve pogotovu intrigantne forme topološkog prostora, pri čemu je druga ne-orijentabilna – tj. 2D površina na kojoj ima obilazaka sa promenljivom orijentacijom (orijentabilnost podrazumeva da površ može biti prekrivena kružnim linijama sa smerovima takvim da one koje su bliske budu isto orijentisane).

Levo: Voronoj dijagram (sa Voronoj ćelijama), egzemplar metričkog prostora, služi kao tehnika podele multidimenzionalnih prostora na podprostore. Divizije su određene udaljenostima određenih objekata u prostoru, od kojih svaki ima odgovarajuću ćeliju. Desno: Mebijusova traka 

Konjektura koju je Anri Poenkare, radeći na topološkim svojstvima sfera,  još 1904. postavio hipotezu da je svaka  prosto povezana 3D mnogostrukost jednaka 3D sferi, gotovo čitav vek je bio uzrok besanih noći i dana matematičkih znalaca. Ako se zna da su jedini zamislivi oblici bez rupa (sa topološkog aspekta) upravo sfere, uprošćeno, pitanje se tiče opisivanja 3D površina u 4D prostoru. Ovaj, u javnosti često navođen kao “najteži matematički problem svih vremena”, tzv. “Milenijumski problem”, smatra se rešenim od 2002. godine kada je tajanstveni, genijalni asketa, Grigorij Perelman, pružio soluciju baziranu na deformaciji mnogostrukosti upotrebom Riccijevog toka (naći link za ovo). Perelman je odbio sve počasti, uključujući i velike novčane kao nagradu za svoju briljantnost.

Poenkareova sfera je zatalasala jedan novi problem ili, određenije rečeno, jednu mogućnost svemira: dodekahedralni univerzum (poliedar sa 12 ravnih strana), kao srž “novog prostora” kosmičke topologije, za kojim se traga i merenjem pozadinskog kosmičkog zračenja.

Makroplan: volumen i priroda




Uz opservaciju da se o odnosu čoveka i arhitekture nedovoljno promišlja – od svih, bez izuzetaka – lepota matematike primenjene na ljudski životni prostor je baš u njenom primećivanju: skrivenih odnosa tajni takozvanih krugova prisustva, društvene i geometrije bivanja – stvari naočigled momentalno očitih, ali preko kojih olako svakodnevno prelazimo (ponekad doslovno).

U knjizi “Analyzing Architecture“, Simon Unwin iznosi zanimljive činjenice o interakciji istorijskih i geografskih uslova i čovečijeg uticaja na geometriju: preciznije, da “upotreba geometrije može da proistekne i iz stanja bića; kao i da postoji geometrija – zvana idealnom geometrijom – koja se umom primenjuje na svet, kao referentni sistem koji svojom matematičkom sigurnošću unosti osećaj stablnosti u promenljivu stvarnost (…). Njome se fizičko tkanje sveta pretvara u “sredstvo identifikacije mesta”, a kao suštinu tog poistovećenja navodi geometriju bivanja, kojom se ova forma matematike uvodi u svet samim postojanjem, kako ljudi i tako i objekata.

Akropolj uspostavlja monumentalan krug prisustva bdeći nad Atinom.

Krugovi ulaze u prvi plan kao imanentni nosioci prisustva i uticaja određenog zdanja koje podaruje identitet mestu. Tako i nazvani, krugovi prisustva (circles of presence – ne obavezno savršenog oblika jer podležu topologiji terena i konfiguraciji okolne arhitekture) su imaginarno polje kojim neki objekat “zrači” svoje bivanje na određenoj površini prostora koja mu duhovno pripada. Primer atinskog Akrpopolja i svetilišta boginje Atene, kao lokacije koja je svojom istorijskom monumentalnošću zadržala svoj krug prisustva i nad modernom Atinom, objašnjava se istorijskim, religijskim i egzistencijalnim značajem koje ovo mesto poseduje u svesti žitelja ali i nad duhom prostora. Unwin ističe da jedan krug prisustva obično sačinjavaju tri koncentrična: vizuelni (u opsegu kojeg je objekat primetan), fizički (u okviru kojeg je dostupan taktilno, opažajan dodirom) i središnji, najapstraktniji, koji čini krug u okviru kojeg individua oseća da je u njegovom prisustvu – i, stoga, najteži za definisanje jer je tako individualan. Ali upravo je taj krug presudan i najvažniji, jer izdvaja objekat od lokacije u kojoj se nalazi.

Linije stupaju u pažnju sa Unwinovim primećenim značajem preciznih poravnjanja više objekata u jednu pravu liniju, liniju vida, što je odvajkada na ljude imalo značajan prihološki efekat (poput pomračenja Sunca ravnanjem njega, Meseca i Zemlje). Linijom vida (line of sight) se uspostavlja matematička i prostorna osa kontakta što kod posmatrača pobuđuje uzbuđenje zbog prepozvanaja veze. Tako se i arhitektonska rešenja služe tom linijom za uspostavljanje kontakta između dva objekta ili objekta sa okolnim svetom, u vidu fragmenta postojeće matrice. Linije prolaska (lines of passage) su, na neki način, produžena ruka fizičkih sila koje utiču na promenu pravca kretanja subjekta, prostornim usmeravanjem spomenutog subjekta (savršena harmonija sa zakonima kretanja koje vele da će telo ostati nepromenjenih parametara kretanja – pravca ili brzine – bez uticaja neke spoljnje sile. Sila je, u ovom slučaju, arhitektonska organizacija prostora).

Snaga ose šest pravaca plus centra je bitna stavka u konstrukciji svetih građevina, ali i u socijalnoj dinamici, u knjizi znanoj kao društvena geometrija. Šest pravaca plus centar je fundament ljudske fizike ali i značenja za arhitekturu. Unwin primećuje da je svako od nas svoj pokretni centar, a da šest pravaca (levo, desno, napred, nazad, gore i dole) uslovljavaju našu viziju arhitekture i kako se prema njenom prostoru ophodimo i kako se u njemu postavljamo – vrlo bitna stavka i vrlo često primenjivana u konstrukciji sakralnih građevina.

Društvena geometrija, termin koji je uveo sociology Donald Black, je evidentna u relacijama, emotivnim diskursima i odnosima snaga kod ljudi, u formacijama koje oni zauzimaju u prostoru, privremeno (poput radijalnog, koncentričnog okupljanja ljudi oko kakve sportske drame u areni, autentične drame u helenskom pozorišnom amfiteatru ili psihološkog vezivanja formiranjem simbolički najsnažnijeg oblika, kruga – oko vatre, npr.). Njena arhitektonska manifestacija, koja realizuje društvenu geometriju na trajnom nivou, je u pospešivanju navedenih vrsta socijalizacije ali i u konfliktima geometrija: poput one u britanskom Parlamentu, u podeli dvorane na dve direktno sučeljene frakcije (vlasti i opozicije). Arhitektura i životni prostor impliciraju i životno pamćenje i nasleđe. U jednom hibridnom organizmu ovog sveta – organskih i gradivnih stavki – geometrija ima ulogu vezivnog tkiva i psihološkog umiritelja.

Autor zahvaljuje Aleksandri Jevtović na obezbeđenoj literaturi za obradu drugog dela članka. 

autor: Andrej Vidović